Inecuaciones con valor absoluto

Concepto

El valor absoluto de un número $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }|x|$ se define como la distancia de ese número al origen en una recta numérica, sin importar si es positivo o negativo. Por ejemplo, $\mathrm{\mid }5\mathrm{\mid }=5|5|\; =\; 5$ y $\mathrm{\mid }-5\mathrm{\mid }=5|-5|\; =\; 5$.

Resolución de Inecuaciones

Hay dos tipos principales de inecuaciones con valor absoluto:

1. : Esto significa que $xx$ está entre $-a-a$ y $aa$.

   • Se descompone en dos inecuaciones: .

2. $\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }>a|x|\; >\; a$: Esto significa que $xx$ está fuera del intervalo entre $-a-a$ y $aa$.

   • Se descompone en dos inecuaciones: o $x>ax\; >\; a$.

Ejemplos

1. :

   • Descomposición: .

   • Resolver para $xx$: , es decir, .

2. $\mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }\ge 7|2x\; +\; 1|\; \backslash geq\; 7$:

   • Descomposición: $2x+1\le -72x\; +\; 1\; \backslash leq\; -7$ o $2x+1\ge 72x\; +\; 1\; \backslash geq\; 7$.

   • Resolver cada inecuación:

     • $2x+1\le -7\to 2x\le -8\to x\le -42x\; +\; 1\; \backslash leq\; -7\; \backslash rightarrow\; 2x\; \backslash leq\; -8\; \backslash rightarrow\; x\; \backslash leq\; -4$.

     • $2x+1\ge 7\to 2x\ge 6\to x\ge 32x\; +\; 1\; \backslash geq\; 7\; \backslash rightarrow\; 2x\; \backslash geq\; 6\; \backslash rightarrow\; x\; \backslash geq\; 3$.

   • Solución: $x\le -4x\; \backslash leq\; -4$ o $x\ge 3x\; \backslash geq\; 3$.

Grafico

Para representar estas soluciones gráficamente, se usarían intervalos y puntos en la recta numérica:

• Para , la solución sería un intervalo abierto entre $-2-2$ y $88$.

• Para $\mathrm{\mid }2x+1\mathrm{\mid }\ge 7|2x\; +\; 1|\; \backslash geq\; 7$, la solución $x\le -4x\; \backslash leq\; -4$ o $x\ge 3x\; \backslash geq\; 3$ serían dos intervalos disjuntos.